Gráfica, Dominio y Rango de la función arccos(x)

La gráfica, el dominio y el rango, así como otras propiedades de la función trigonométrica inversa \( \arccos(x) \), se exploran mediante gráficas, ejemplos con soluciones detalladas y una aplicación interactiva.

Definición de la Función arccos(x)

La función \( \cos(x) \) se muestra a continuación. En su dominio implícito, cos(x) no es una función uno a uno como se observa a continuación; la prueba de la línea horizontal para una función uno a uno fallaría. Pero si limitamos el dominio a \( [ 0 , \pi ] \), gráfica azul a continuación, obtenemos una función uno a uno que tiene una inversa que no se puede obtener algebraicamente.

gráfica de cos(x) con dominio limitado

La función inversa de \( f(x) = \cos(x) , x \in [ 0 , \pi] \) es \( f^{-1} = \arccos(x) \)
Definimos \( \arccos(x) \) de la siguiente manera: \[ y = \arccos(x) \iff x = \cos(y) \] donde \( -1 \le x \le 1 \) y \( 0 \le y \le \pi \)

Hagamos una tabla de valores de \( y = \arccos(x) \) y grafiquémosla.

\( x \) -1 0 1
\( y = \arccos(x) \) \( \pi \) \( \dfrac{\pi}{2} \) \( 0 \)
ya que \( \cos(\pi) = - 1 \) ya que \( \cos(\dfrac{\pi}{2}) = 0 \) ya que \( \cos(0) = 1 \)

Las gráficas de \( y = \arccos(x) \) y \( y = \cos(x) , x \in [ 0 , \pi] \) se muestran a continuación. Cada gráfica es el reflejo de la otra sobre la línea \( y = x \); esta es una de las propiedades gráficas de las funciones inversas.

gráfica de cos(x) y arccos(x)

Ejemplo 1
Evalúa \( \arccos(x) \) dado el valor de \( x \).
Valores especiales relacionados con ángulos especiales
\( \arccos(1) = 0\) porque \( \cos(0) = 1 \)
\( \arccos(-1) = \pi \; \text{ o } 180^{o} \) porque \( \cos(\pi) = - 1 \)
\( \arccos(2) = \) no definido porque \( 2 \) no está en el dominio de \( \arccos(x) \) que es \( -1 \le x \le 1 \) (no hay ningún ángulo cuyo coseno sea igual a 2).
\( \arccos(-\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2\pi}{3} \; \text{ o } 120^{o} \) porque \( \cos(\dfrac{2\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} \)
\( \arccos( - \dfrac{\sqrt3}{2}) = \dfrac{5\pi}{6} \; \text{ o } 150^{o}\) porque \( \cos(\dfrac{5\pi}{6}) = - \dfrac{\sqrt3}{2} \)
\( \arccos(\dfrac{\sqrt 3}{2}) = \dfrac{\pi}{6} \; \text{ o } 30^{o} \) porque \( \sin(\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\sqrt 3}{2} \)
Uso de la calculadora
\( \arccos(0.25) = 1.32 \; \text{ o } 75.52^{o} \)
\( \arccos(-0.77) = 2.45 \; \text{ o } 140.35^{o} \)



Propiedades de \( y = \arccos(x) \)

  1. Dominio: \( [-1 , 1] \)
  2. Rango: \( [0 , \pi] \)
  3. \( \arccos(x) \) es una función uno a uno
  4. \( \cos(\arccos(x)) = x \), para x en el intervalo \( [-1,1] \), debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f(f^{-1}(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f^{-1} \)
  5. \( \arccos(\cos(x)) = x \), para x en el intervalo \( [0 , \pi ] \), debido a la propiedad de una función y su inversa: \( f^{-1}(f(x) = x \) donde \( x \) está en el dominio de \( f \)


Ejemplo 2
Encuentra el dominio de las funciones:
a) \( y = \arccos(-3x)\)       b) \( y = \arccos(2 x - 1) \)       c) \( y = 3 \arccos(x/2 + 1) + \pi/4 \)

Solución al Ejemplo 2
a)
El dominio se encuentra escribiendo primero que el argumento \( -3x \) de la función dada \( y = \arccos(-3x)\) está dentro del dominio de la función arccos, que es una de las propiedades dadas anteriormente. Por lo tanto, es necesario resolver la doble desigualdad
\( -1 \le -3x \le 1 \)
divide todos los términos de la doble desigualdad por -3 y cambia los símbolos de la desigualdad para obtener
\( - 1/3 \le x \le 1/3 \), que es el dominio de la función \( y = \arccos(-3x)\).
b)
Resuelve la desigualdad
\( -1 \le 2 x - 1 \le 1 \)
\( 0 \le 2 x \le 2 \)
\( 0 \le x \le 1 \), que es el dominio de la función \( y = \arccos(2 x - 1) \).
c)
\( -1 \le x/2 + 1 \le 1 \)
Resuelve la desigualdad anterior
\( - 4 \le x \le 0 \), que es el dominio de la función \( y = 3 \arccos(x/2 + 1) + \pi/4 \).


Ejemplo 3
Encuentra el rango de las funciones:
a) \( y = - 2 \arccos(x)\)       b) \( y = - \arccos(x) + \pi/4 \)       c) \( y = - \arccos(x-1) - \pi\)

Solución al Ejemplo 3
a)
Comenzamos con el rango de \( \arccos(x)\) como una doble desigualdad
\( 0 \le \arccos(x) \le \pi \)
multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por -2, cambia los símbolos de la desigualdad y simplifica
\( - 2 \pi \le - 2\arccos(x) \le 0 \)
el rango de la función dada \( - 2 \arccos(x) \) está dado por el intervalo \( [ - 2 \pi , 0 ] \).

b)
Comenzamos con el rango de \( \arccos(x)\)
\( 0 \le \arccos(x) \le \pi \)
Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por -1 y cambia el símbolo de la doble desigualdad
\( -\pi \le -\arccos(x) \le 0 \)
suma \( \dfrac{\pi}{4} \) a todos los términos de la desigualdad anterior y simplifica
\( - 3 \dfrac{\pi}{4} \le - \arccos(x) + \dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{\pi}{4} \)
el rango de la función dada \( y = - \arccos(x) + \pi/4 \) está dado por el intervalo \( [ - 3 \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{4} ] \).
c)
La gráfica de la función dada \( \arccos(x-1)\) es la gráfica de \( \arccos(x)\) desplazada 1 unidad a la derecha. Desplazar una gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha no afecta el rango. Por lo tanto, el rango de \( \arccos(x-1)\) está dado por el intervalo \( [ 0 , \pi ] \) y puede escribirse como una doble desigualdad
\( 0 \le \arccos(x-1) \le \pi \)
Multiplica todos los términos de la desigualdad por -1 y cambia el símbolo de la desigualdad
\( -\pi \le -\arccos(x-1)\le 0 \)
Suma \( -\pi \) a todos los términos de la desigualdad y simplifica para obtener el rango de la función \( y = - \arccos(x-1) - \pi\)
\( - 2 \pi \le - \arccos(x-1) -\pi \le -\pi \)

Ejemplo 4
Evalúa si es posible
a) \( \cos(\arccos(-0.5))\)       b) \( \arccos(\cos(\dfrac{\pi}{6}) ) \)       c) \( \cos(\arccos(-2.1))\)       d) \( \arccos(\cos(\dfrac{- \pi}{3}) ) \)

Solución al Ejemplo 4
a)
\( \cos(\arccos(-0.5)) = -0.5\) usando la propiedad 4 anterior
b)
\( \arccos(\cos(\dfrac{\pi}{6}) ) = \dfrac{\pi}{6}\) usando la propiedad 5 anterior
c)
NOTA que no podemos usar la propiedad 4 porque -2.1 no está en el dominio de \( \arccos(x) \)
\( \cos(\arccos(-2.1)\) no está definido
d)
NOTA que no podemos usar la propiedad 5 porque \( - \dfrac{\pi}{3} \) no está en el dominio de esa propiedad. Primero transformaremos \( \cos(-\dfrac{\pi}{3}) \) de la siguiente manera
\( \cos(- \dfrac{\pi}{3}) = \cos(\dfrac{\pi}{3})\) , la función coseno es par
Ahora sustituimos \( \cos( - \dfrac{ \pi}{3}) \) por \( \cos(\dfrac{\pi}{3}) \) en la expresión dada
\( \arccos(\cos( - \dfrac{\pi}{3}) ) = \arccos(\cos(\dfrac{\pi}{3}) )\)
Ahora usamos la propiedad 5 porque \( \dfrac{\pi}{3} \) está en el dominio de la propiedad. Por lo tanto,
\( \arccos(\cos( - \dfrac{\pi}{3}) ) = \arccos(\cos(\dfrac{\pi}{3})) = \dfrac{\pi}{3} \)



Tutorial Interactivo para Explorar el arccos(x) Transformado

La exploración se realiza analizando los efectos de los parámetros \( a, b, c\) y \( d \) incluidos en la función arccos más general dada por \[ f(x) = a \arccos(b x + c) + d \]
Cambia los parámetros \( a, b, c\) y \( d \) y haz clic en el botón 'dibujar' en el panel izquierdo a continuación. Acerca y aleja para una mejor visualización.

a =
-10+10

b =
-10+10

c =
-10+10

d =
-10+10


  1. Configura los parámetros en \( a = 1, b = 1, c = 0\) y \( d = 0 \) para obtener \[ f(x) = \arccos(x) \] Verifica que el dominio de \( \arccos(x) \) está dado por el intervalo \( [-1 , 1] \) y el rango está dado por el intervalo \( [0 , \pi ] \), \( (\pi \approx 3.14) \).
  2. Cambia el coeficiente \( a \) y explora su efecto en el rango de la función \( a \arccos(x) \). (Pista: compresión vertical, estiramiento, reflexión).
    ¿Cambia el dominio de \( a \arccos(x) \) con \( a \)?
  3. ¿Un cambio en \( b \) afecta el dominio o/and el rango de \( a \arccos(b x) \)? (Pista: compresión horizontal, estiramiento).
  4. ¿Un cambio en \( c \) afecta el dominio o/and el rango de \( a\arccos(b x + c) \)? ¿Qué pasa con el desplazamiento horizontal?
  5. ¿Un cambio en \( d \) afecta el rango de \( a\arccos(bx + c) + d \)?
  6. ¿Cuál es el dominio y rango de \( a \arccos(b x + c) + d \) en términos de \( a, b, c \) y \( d \)?

Ejercicios

  1. Encuentra el dominio y rango de \( f(x) = \arccos(2 x + 5) - \pi/2 \).
  2. Encuentra el dominio y rango de \( g(x) = - 0.5 \arccos(x + 4) - \pi \).
  3. Encuentra el dominio y rango de \( h(x) = - \dfrac{1}{2} \arccos(x) - \pi / 4\).
Respuestas a las Preguntas Anteriores
  1. Dominio: \( [-3 , -2] \) , Rango: \( [- \pi/2 , \pi/2] \).
  2. Dominio: \( [-5 , -3] \) , Rango: \( [ -3\pi / 2 , -\pi] \).
  3. Dominio: \( [-1 , 1] \) , Rango: \( [ - 3\pi/4 , \pi/4] \).


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