Definición de distribución normal

\( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \)

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal y sus propiedades se presentan a partir de los histogramas de probabilidad . Se utiliza un conjunto de datos distribuido normalmente con media \( \mu = 3,5 \) y una desviación estándar \( \sigma = 1 \) para resaltar el vínculo entre el histograma de probabilidad de los datos y la función de densidad normal que conduce a la definición de distribución normal .
Gráficas de distribuciones normales se presentan para resaltar los efectos de la media \( \mu \) y la desviación estándar \( \sigma \) en la distribución normal. Se presentan las propiedades de las distribuciones normales. Se define la distribución normal estándar y se siguen los pasos para pasar de Se presentan distribuciones normales a distribución normal estándar utilizando el puntaje z . Se incluyen Ejemplos de cálculos de probabilidades de distribuciones normales.
Se incluyen una tabla PDF así como una hoja de Google para valores de área de distribución normal estándar. y ambos pueden descargarse y usarse en cálculos.

Histogramas de probabilidad de distribución de datos

En la figura 1, se muestran los histogramas de probabilidad de 3 datos conjuntos. Los datos del histograma A están más concentrados hacia la izquierda. Los datos del histograma B están más concentrados hacia la derecha; y los datos del histograma C están dispersos.
Histograma de probabilidad de varias distribuciones de datos

Figura 1

La Figura 2 muestra un histograma de probabilidad simétrico cuyos datos se concentran en el medio. La media \( \mu \) y la mediana de estos datos son muy cercanas y aproximadamente iguales a \( 3,5 \).

\( \mu \approx 3.5 \) , mediana \( \approx 3.5 \)

Figura 2

La distribución es simétrica y se analizará con más detalle a continuación.

Datos normalmente distribuidos

El histograma de probabilidad de un conjunto de datos de 2560 valores de datos en un archivo de datos de se muestra a continuación. Los datos de este archivo se pueden descargar y utilizar para practicar más.
A continuación se muestran los cálculos, realizados utilizando hojas de Google, de la media, la mediana y la desviación estándar de estos datos. Redondeada a la décima más cercana, la media de este conjunto de datos \( \mu \) es igual a \( 3.5 \) y su desviación estándar stdev es igual a \( 1 \). Tenga en cuenta también que la media y la mediana están muy cerca.

Media, mediana y desviación estándar

Figura 3

Frecuencias y probabilidades correspondientes

Figure 4

En la figura 5 a continuación, tenemos el histograma de probabilidad y la gráfica de la función \( f_{X}(x) \) dada por \[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 } \]
Distribución normal de datos

Figure 5

Ahora usamos valores numéricos para explicar el vínculo entre el área debajo de los rectángulos que forman el histograma y el área entre la curva de la función \( f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 }\) y el eje x.

Sea \( P( 3 \le X \le 5) \) la probabilidad de que un valor de dato \( X \), seleccionado aleatoriamente del conjunto de datos, sea mayor o igual que \( 3 \) y menor que o igual a \( 5 \). Según las clases [3-4] y [4-5] y sus correspondientes probabilidades en la Figura 4, tenemos
\( \qquad P( 3 \le X \le 5) \approx 0.377+0.229 = 0.606 \qquad (A) \)

Ahora usamos la función de densidad de probabilidad \( f_{X}(x) \). El área entre la curva de \( f_{X}(x) \), el eje x y \( x = 3 \) y \( x = 5 \) viene dada por:
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) = \int_3^5 \; f_{X} (x) \; dx \)

Sustituta \( f_{X}(x) \) by \( \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 } \)
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \int_3^5 \; \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 } \; dx \)
Utilice una calculadora para obtener
\( \displaystyle \qquad P( 3 \le X \le 5) \approx 0,62465 \qquad (B) \)

Comparando los resultados de las probabilidades en \( (A) \) y \( (B) \) encontradas anteriormente, concluimos que es posible definir \( f_{X}(x) \) como la función de densidad de probabilidad cuya El área puede usarse para determinar probabilidades.

Función \[ f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} (x-3.5)^2 }\] se define como una distribución normal con media \( \mu = 3.5 \) y desviación estándar \( \sigma = 1 \)

A continuación, generalizaremos la definición de una distribución normal y sus propiedades.

Función de densidad de probabilidad de una distribución normal

La función de densidad de probabilidad de una distribución normal con media \( \mu \) y desviación estándar \( \sigma \) está definida por \[ \boxed {\displaystyle f_X(x) = \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } } \] donde \( X \) es la variable aleatoria distribuida normalmente.

Gráficas de la función de densidad de una distribución normal

En la figura 6 a continuación, se muestran funciones de densidad de probabilidad normal con la misma desviación estándar \( \sigma = 2 \) y diferentes medias.

Distribuciones normales con diferentes medias

Figure 6

En la figura 7 a continuación, se muestran funciones de densidad de probabilidad normal con la misma media \( \mu = 4 \) y diferentes desviaciones estándar \( \sigma \).

Distribuciones normales con diferente desviación estándar

Distribuciones normales con diferente desviación estándar

Figure 7

De lo anterior, la media \( \mu \) indica el desplazamiento horizontal de \( f_X(x) \) y \( \sigma \) indica cómo se agrupan los datos alrededor de la media. Para datos muy concentrados, alrededor de la media, \( \sigma \) es pequeño.

Propiedades de las distribuciones normales

1-La distribución normal se centra alrededor de la media; esto se muestra claramente en las figuras 6 y 7.
2 - La media y la mediana de una distribución normal son muy cercanas (iguales en teoría).
3 - El área total bajo la curva de una distribución normal es igual a \( 1 \). \[ \displaystyle \dfrac{1}{ \sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{\infty} \; e^{-\frac{1}{2} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } dx = 1 \] 4 - La distribución de datos es la siguiente
a) Aproximadamente, \( 68\% \) de los datos se encuentran dentro de 1 desviación estándar de la media. \[ \displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int _{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{ x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0,68268\]

Área dentro de la media más o menos una desviación estándar

Figure 8

b) Aproximadamente, \( 95\% \) de los datos se encuentran dentro de 2 desviaciones estándar de la media. \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.95449 \]

Área dentro de la media más o menos dos desviaciones estándar

Área dentro de la media más o menos dos desviaciones estándar

Figure 9

c) Aproximadamente, \( 99\% \) de los datos se encuentran dentro de 3 desviaciones estándar de la media. \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\: \int _{\mu-3\sigma}^{\mu+3\sigma}\:e^{-0.5\left(\frac{x-mu}{\sigma}\right)^2}dx \approx 0.99730 \]

Área dentro de la media más o menos tres desviaciones estándar

Área dentro de la media más o menos tres desviaciones estándar

Figure 10

Distribución normal estándar y su probabilidad acumulada

La distribución normal con media \( \mu = 0 \) y desviación estándar \( \sigma = 1 \) se llama distribución normal estándar y su función de densidad de probabilidad está dada por \[ f_X(x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} x^2 } \] La distribución de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar está definida por la integral \[ \displaystyle F_{X} (x) = \dfrac{1}{ \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} t^2} \; dt \] y se utiliza para encontrar probabilidades de la forma \[ P( X \le a) = F_{X} (a) \] Probabilidad acumulada de distribución normal estándar

Figure 11

Por eso \( P( X \le a) \) está dada por el área entre el eje x, la curva de la distribución normal estándar y \( x = a \)
La integral que define la probabilidad acumulada de la distribución normal estándar no se da en forma cerrada y, por lo tanto, se puede hacer usando una calculadora de probabilidad normal o tablas y pueden ser descargado para uso personal. como en las hojas de Google que se muestran a continuación.

La probabilidad acumulada también se puede calcular utilizando hojas de Google y la función "=NORM.S.DIST(a)" como se muestra a continuación.
Probabilidad acumulada de distribución normal estándar en Google Sheets

Figure 12

De la distribución normal a la distribución normal estándar

La distribución normal de la media \( \mu \) y la desviación estándar \( \sigma \) viene dada por \[ \displaystyle f_{X}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \:}}\:e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{ x-\mu}{\sigma}\right)^2} \] La probabilidad \( P( X \le a) \) está dada por el área entre el eje x, la curva de la distribución normal y \( x = a \) y está dada por \[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{a } \; e^{- \frac{1}{2} \left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)^2} \; dt\] Usemos la sustitución en la integral. \( z = \frac{t - \mu}{\sigma} \) lo que da \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma} \) y sustituye en la integral anterior \[ \displaystyle P( X \le a) = F_{X} (a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{\frac{ a - \mu}{\sigma}} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz\] Ahora estamos tratando con la integral de la distribución normal estándar y la puntuación z dada por. \[ z = \frac{a - \mu}{\sigma} \]
El resultado anterior nos dice que solo necesita conocer la integral de la distribución normal estándar para calcular cualquier probabilidad relacionada con cualquier distribución normal y eso es utilizando el puntaje z definido anteriormente.
la integral \[ \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{z_0} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz\] se puede calcular utilizando hojas de Google que se pueden descargar para uso personal. y también se da en forma de Tabla de Distribución Normal en pdf puede ser descargado y utilizado.

Ejemplos de probabilidades relacionadas con distribuciones normales

Ejemplo 1
Una variable aleatoria \( X \) normalmente se distribuye con una media \( \mu = 2.2 \) y una desviación estándar \( \sigma = 2.5 \). Encuentra la probabilidad
a) \( \qquad P( X \le 1.2) \)
Solución al ejemplo 1

En este ejemplo tenemos \( \mu = 2.2 \) y \( \sigma = 2.5 \), por lo tanto, el puntaje z definido anteriormente viene dado por \[ z = \frac{1,2 - 2,2}{2,5} \aprox -0,4 \] Diferentes formas de calcular la integral.
a) Usando una calculadora, la probabilidad está dada por \[ P( X \le 1.2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}\:\int_{-\infty}^{-0.4} \; e^{- \frac{1}{2} z^2} \; dz \aproximadamente 0,34457 \] b) Utilice una tabla de valores de probabilidad de una distribución normal estándar que pueda ser
descargado para uso personal.
Tabla de estándares Distribución normal

Figura 13

NOTA a Tabla de Distribución Normal en pdf se puede descargar y utilizar.

Ejemplo 2
Una variable aleatoria \( X \) normalmente se distribuye con una media \( \mu = -2.5 \) y una desviación estándar \( \sigma = 2 \). Encuentre las siguientes probabilidades
a) \( \qquad P( 0.5 \le X \le 3.1) \)
b) \( \qquad P( X \ge 0.8) \)
Solución al ejemplo 2
a)
\( P( 0.5 \le X \le 3.1) \) es el área entre el eje x, la curva de la distribución normal media \( \mu = -2.5 \) y una desviación estándar \( \sigma = 2 \) y \( x = 0.5 \) y \( x = 3.1 \)
Por eso
\( P( 0.5 \le X \le 3.1) = P( X \le 3.1) - P( X \le 0.5) \)

Sean \( z_1 = \dfrac{0.5 - (-2.5)}{2} = 1.5 \) y \( z_2 = \dfrac{3.1 - (-2.5)}{2} = 2.8 \)

Escribimos las probabilidades usando el puntaje z y usamos la tabla Tabla de Distribución Normal para obtener:
\( P( X \le 3.1) = P( Z_1 \le 2.8) = 0.9974448697 \)
\( P( X \le 0.5) = P( Z_2 \le 1.5) = 0.9331927987 \)
\( P( 0.5 \le X \le 3.1) = 0.9974448697 - 0.9331927987 = 0.064252071 \)

NOTA que también puede utilizar la Calculadora de probabilidad normal para comprobar la respuesta.
b)
\( P( X \ge 0.8) = 1 - P( X \le 0.8) \)
Sea \( z_3 = \dfrac{0,8 - (-2,5)}{2} = 1,65 \)

Escribimos las probabilidades usando el puntaje z y usamos la tabla Tabla de Distribución Normal para obtener:
\( P( X \le 0.8) = P( Z_3 \le 1.65) = 0.950528532 \)
\( P( X \ge 0,8) = 1 - 0,950528532 = 0,049471468 \)

NOTA que también puede utilizar la Calculadora de probabilidad normal para comprobar la respuesta.
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