Distribución Normal: Definición, Propiedades y Aplicaciones

La distribución normal es un concepto fundamental en estadística que describe cómo los datos se agrupan alrededor de una media. Esta guía explica la función de densidad de probabilidad, la distribución normal estándar, las puntuaciones Z y aplicaciones prácticas con ejemplos. Aprenda cómo la media (μ) y la desviación estándar (σ) dan forma a la distribución, calcule probabilidades usando la conversión a forma normal estándar y aplique la regla empírica para el análisis de datos.

Histogramas de Probabilidad y Distribuciones de Datos

Los histogramas de probabilidad visualizan la distribución de datos. La Figura 1 muestra tres distribuciones: A (concentrada a la izquierda), B (concentrada a la derecha) y C (dispersa).

Figura 1: Diferentes Tipos de Distribución de Datos

La Figura 2 muestra un histograma simétrico con datos concentrados en el centro. La media (μ) y la mediana son aproximadamente iguales: \[ \mu \approx 3.5 \quad \text{y} \quad \text{mediana} \approx 3.5 \]

Figura 2: Distribución Simétrica

Ejemplo de Datos Distribuidos Normalmente

Considere un conjunto de datos con media calculada μ = 3.5 y desviación estándar σ = 1 (Figura 3). La media y la mediana son casi idénticas, indicando simetría.

Figura 3: Estadísticas del Conjunto de Datos

Figura 4: Distribución de Frecuencias y Probabilidades

La Figura 5 compara el histograma de probabilidad con la función de densidad normal: \[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(x-3.5)^2} \]

Figura 5: Ajuste de la Distribución Normal

Comparación de Probabilidades: Para \( P(3 \leq X \leq 5) \):

1. Método del histograma: \( 0.377 + 0.229 = 0.606 \)
2. Integral de la distribución normal: \[ P(3 \leq X \leq 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_3^5 e^{-\frac{1}{2}(x-3.5)^2} dx \approx 0.62465 \]

Función de Densidad de Probabilidad de la Distribución Normal

La distribución normal general con media μ y desviación estándar σ tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: \[ \boxed{ f_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} } \] donde \( X \) es la variable aleatoria distribuida normalmente.

Gráficas de Distribuciones Normales

Figura 6: Misma desviación estándar (σ = 2), diferentes medias.
Figura 7: Misma media (μ = 4), diferentes desviaciones estándar.

La media μ determina la posición horizontal; σ controla la dispersión (σ menor = datos más concentrados).

Propiedades de las Distribuciones Normales

1. La distribución es simétrica y centrada en la media μ.
2. Media, mediana y moda son iguales.
3. El área total bajo la curva es igual a 1: \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} dx = 1 \]
4. Regla Empírica (68-95-99.7):
   1. ≈68% de los datos dentro de μ ± σ: \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} dx \approx 0.68268 \]
   2. ≈95% dentro de μ ± 2σ: \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} dx \approx 0.95449 \]
   3. ≈99.7% dentro de μ ± 3σ: \[ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{\mu-3\sigma}^{\mu+3\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} dx \approx 0.99730 \]

Distribución Normal Estándar

Caso especial con μ = 0 y σ = 1: \[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} \] Función de distribución acumulativa: \[ F_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \] Esto da \( P(X \leq a) = F_X(a) \), representado por el área sombreada en la Figura 11.

Figura 11: Área de Probabilidad Acumulativa

Los valores se calculan usando software estadístico, calculadoras o tablas. Función de Google Sheets: =NORM.S.DIST(a, TRUE).

Figura 12: Implementación en Google Sheets

Conversión a Distribución Normal Estándar

Cualquier distribución normal puede transformarse usando la puntuación Z: \[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \] Para la probabilidad \( P(X \leq a) \): \[ P(X \leq a) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} dt \] Sustituya \( z = \frac{t-\mu}{\sigma} \), \( dz = \frac{dt}{\sigma} \): \[ P(X \leq a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}} e^{-\frac{1}{2}z^2} dz = F_Z\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) \] Por lo tanto, solo se necesita la tabla de distribución normal estándar.

Ejemplos de Cálculo de Probabilidad

Ejemplo 1

Dado \( X \sim N(\mu = 2.2, \sigma = 2.5) \), encuentre \( P(X \leq 1.2) \).

Solución:

1. Calcule la puntuación Z: \[ z = \frac{1.2 - 2.2}{2.5} = -0.4 \]
2. Usando la tabla normal estándar o calculadora: \[ P(X \leq 1.2) = P(Z \leq -0.4) \approx 0.3446 \]

Ejemplo 2

Dado \( X \sim N(\mu = -2.5, \sigma = 2) \), encuentre:

1. \( P(0.5 \leq X \leq 3.1) \)
2. \( P(X \geq 0.8) \)

Solución:

Parte (a):

1. Convierta a puntuaciones Z: \[ z_1 = \frac{0.5 - (-2.5)}{2} = 1.5, \quad z_2 = \frac{3.1 - (-2.5)}{2} = 2.8 \]
2. Use la tabla normal estándar: \[ P(Z \leq 2.8) = 0.99744, \quad P(Z \leq 1.5) = 0.93319 \]
3. Calcule: \[ P(0.5 \leq X \leq 3.1) = 0.99744 - 0.93319 = 0.06425 \]

Parte (b):

1. Puntuación Z: \[ z_3 = \frac{0.8 - (-2.5)}{2} = 1.65 \]
2. \( P(X \leq 0.8) = P(Z \leq 1.65) = 0.95053 \)
3. \( P(X \geq 0.8) = 1 - 0.95053 = 0.04947 \)

Referencias y Recursos

1. Densidad de Probabilidad para Variables Continuas
2. Introducción a la Probabilidad
3. Distribuciones de Frecuencia con Google Sheets
4. Calculadora de Probabilidad Normal
5. Problemas de Distribución Normal con Soluciones
6. Tabla de Distribución Normal Estándar (PDF)