一组微积分 1 问题及其详细解答，用于练习测试、考试、分班考试等，并深入理解以下核心主题：
- 函数
- 极限
- 连续性
- 导数
- 导数的应用
这些问题旨在涵盖微积分 1 中最重要的主题，每个问题都包含一个可展开的详细解答。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
练习题与详细解答
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问题 1
求函数的定义域： \[ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{4 - x^2}} \]显示问题 1 的解答
为了让函数 \( f \) 取实数值，分子中根号下的表达式必须非负，分母中根号下的表达式必须为正。我们求解以下不等式：
\[ x - 1 \ge 0 \quad \text{且} \quad 4 - x^2 > 0 \]第一个和第二个不等式的解集分别为：
\[ x \ge 1 \quad \text{且} \quad -2 < x < 2 \]两个条件必须同时满足。因此，定义域是这两个集合的交集：
\[ 1 \le x < 2 \] -
问题 2
求函数的值域： \[ f(x) = \frac{x - 1}{2 - 3x} \]显示问题 2 的解答
根据反函数的性质，\( f \) 的值域就是其反函数的定义域。
首先，通过假设 \( f(a) = f(b) \) 并证明 \( a = b \)，来证明 \( f \) 是一个单射函数（一对一函数）：
\[ \frac{a - 1}{2 - 3a} = \frac{b - 1}{2 - 3b} \]交叉相乘并化简得出 \( a = b \)，证明了其可逆性。要寻找反函数，从下式开始：
\[ y = \frac{x - 1}{2 - 3x} \implies 2y - 3xy = x - 1 \implies x = \frac{2y + 1}{3y + 1} \]互换 \( x \) 和 \( y \) 得到反函数：
\[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3x + 1} \]\( f^{-1} \) 的定义域排除了 \( x = -\dfrac{1}{3} \)。因此，用区间表示法写出 \( f \) 的值域为：
\[ \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) \] -
问题 3
求函数的反函数： \[ f(x) = \ln(2x - 3) + 2 \]显示问题 3 的解答
将函数写成方程并求解 \( x \)：
\[ y = \ln(2x - 3) + 2 \] \[ y - 2 = \ln(2x - 3) \] \[ e^{y - 2} = 2x - 3 \implies 2x = e^{y - 2} + 3 \implies x = \frac{1}{2}\left(e^{y - 2} + 3\right) \]互换 \( x \) 和 \( y \) 得到反函数：
\[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\left(e^{x - 2} + 3\right) \] -
问题 4
计算下列各个极限：- \( \displaystyle \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + 1}{x} \)
显示问题 4 的解答
a) 这是一个 \( \dfrac{0}{0} \) 型的不定式极限。将分子和分母同乘以分子的共轭式：
\[ \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} = \lim_{x \to 16} \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{16}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} \] \[ = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{16 - x}{16x}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{-1}{16x\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{-1}{16(16)\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{128} \]b) 这是一个 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 型的极限。将所有项除以最高次幂 \( x^4 \)：
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{9}{x^4}} = \frac{0}{1} = 0 \]c) 不定式 \( \infty \cdot 0 \)。设 \( t = \dfrac{3}{x} \)：
\[ \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) = \lim_{t \to 0} 3 \frac{\sin(t)}{t} = 3 \times 1 = 3 \]d) 不定式 \( \dfrac{0}{0} \)。应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) + 1}{4x + 1} = \frac{\cos(0) + 1}{0 + 1} = 2 \]e) 因为 \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)，加上 1 得到 \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \)。除以 \( x > 0 \)：
\[ 0 \le \frac{\sin(x) + 1}{x} \le \frac{2}{x} \]根据夹逼定理，由于两端边界的极限均为 0，因此该极限值为 \( 0 \)。
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问题 5
a) 在同一个坐标系中绘制 \( y = e^{x-1} \) 和 \( y = x \) 的图像，证明两条曲线在点 \( (1, 1) \) 处相切，并验证 \( e^{x-1} \ge x \)。
b) 利用 a 部分的结果来确定函数 \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \) 的凹凸性以及任何拐点。显示问题 5 的解答
a) \( y = e^{x-1} \) 的导数为 \( y' = e^{x-1} \)。在 \( x = 1 \) 处，斜率 \( m = e^{1-1} = 1 \)。在 \( (1, 1) \) 处的切线方程为 \( y - 1 = 1(x - 1) \implies y = x \)。因此，两条曲线在 \( (1, 1) \) 处相切且 \( e^{x-1} \ge x \)。
图 2. \( y = e^{x-1} \) 和 \( y = x \) 的图像 b) 给定 \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \)，其导数分别为：
\[ f'(x) = \frac{x^2}{2} - e^{x-1}, \quad f''(x) = x - e^{x-1} \]因为 \( e^{x-1} \ge x \implies x - e^{x-1} \le 0 \)，所以 \( f''(x) \le 0 \) 在整个定义域上成立（在 \( x = 1 \) 处等号成立）。因此，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上是向下凹的（凹弧），且由于 \( f'' \) 不变号，故没有拐点。
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Question 6
求下列函数的导数（最终答案无需化简）：- \( f(x) = e^{x-1} + \ln(3x - 1) + \sin(2x + 1) \)
- \( g(x) = (2x - 1)^2(\tan(x) - 1) \)
- \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2 - 2x + 1} \)
- \( m(x) = \sin\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \)
- \( n(x) = 3^{2x+3} + \log_3(2x - 1) \)
显示问题 6 的解答
a) 和法则：\( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x - 1} + 2\cos(2x + 1) \)
b) 乘积法则：\( g'(x) = 4(2x - 1)(\tan(x) - 1) + (2x - 1)^2\sec^2(x) \)
c) 商法则：\( h'(x) = \dfrac{(1 + \sin(x))(x^2 - 2x + 1) - (x - \cos(x))(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2} \)
d) 链式法则：\( m'(x) = \cos\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(3x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2\right)^{-1/2} \)
e) 换底公式：\( n(x) = e^{(2x+3)\ln 3} + \dfrac{\ln(2x-1)}{\ln 3} \implies n'(x) = (2\ln 3)3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x - 1)} \)
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问题 7
求由方程 \( \sin(y^2) = x^2 \) 在点 \( (0, \sqrt{\pi}) \) 处确定的曲线的切线方程。显示问题 7 的解答
关于 \( x \) 隐式求导：
\[ 2y \frac{dy}{dx}\cos(y^2) = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y\cos(y^2)} \]在点 \( (0, \sqrt{\pi}) \) 处代入计算：
\[ m = \frac{0}{\sqrt{\pi}\cos(\pi)} = 0 \]水平切线的方程为：
\[ y = \sqrt{\pi} \] -
问题 8
求常数 \( a \) 和 \( b \)，使得函数 \( f \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上连续： \[ f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x \le 1 \\ ax^3 + b & 1 < x < 2 \\ x + 2b & x \ge 2 \end{cases} \]显示问题 8 的解答
在 \( x = 1 \) 处的连续性：
\[ \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (ax^3 + b) = a + b \implies a + b = 1 \quad \text{（方程 1）} \]在 \( x = 2 \) 处的连续性：
\[ \lim_{x \to 2^-} (ax^3 + b) = 8a + b, \quad \lim_{x \to 2^+} (x + 2b) = 2 + 2b \implies 8a + b = 2 + 2b \quad \text{（方程 2）} \]联立求解方程 (1) 和 (2) 得：
\[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3} \] -
问题 9
求由曲线 \( y = x + \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处确定的切线方程。显示问题 9 的解答
导数：\( y' = 1 + \cos(x) \)。在 \( x = 0 \) 处的斜率为 \( m = 1 + \cos(0) = 2 \)。
切点：\( P(0, 0 + \sin(0)) = (0, 0) \)。
切线方程：\( y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x \)。
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问题 10
使用导数的极限定义求 \( f(x) = \sqrt{x + 2} \) 的导数 \( f'(x) \)。显示问题 10 的解答
使用导数的极限定义：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 2} - \sqrt{x + 2}}{h} \]分子有理化（乘共轭式）：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 2) - (x + 2)}{h\left(\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \] -
问题 11
确定函数 \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 8) + \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^3}{6} \) 在哪些区间上是向上凹的、哪些区间上是向下凹的，并找出所有拐点。显示问题 11 的解答
一阶导数：\( f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 3) + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} \)
二阶导数：\( f''(x) = e^x(x^2 - x) + x^2 - x = x(x - 1)e^x \)
\( f'' \) 的零点为 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)。测试区间：
- \( (-\infty, 0) \)：\( f''(-1) > 0 \)（向上凹）
- \( (0, 1) \)：\( f''(1/2) < 0 \)（向下凹）
- \( (1, +\infty) \)：\( f''(2) > 0 \)（向上凹）
拐点出现在 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \) 处。
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问题 12
使用牛顿法，以初始近似值 \( x_1 = 2 \) 求方程 \( e^x = x^3 \) 解的第二个近似值。显示问题 12 的解答
令 \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \)。则 \( f'(x) = e^x - 3x^2 \)。
使用牛顿迭代公式 \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)，初始值 \( x_1 = 2 \)：
\[ x_2 = 2 - \frac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3(2^2)} \approx 1.87 \] -
问题 13
求函数 \( f(x) = x^4 - x^3 \) 在区间 \( [0, 5] \) 上的绝对最大值和绝对最小值。显示问题 13 的解答
导数：\( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x - 3) \)。临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = 3/4 \)。
在区间 \( [0, 5] \) 的端点和临界点处求值：
\[ f(0) = 0, \quad f(5) = 500, \quad f(3/4) = -\frac{27}{256} \]绝对最大值为 \( 500 \)（在 \( x = 5 \) 处），绝对最小值为 \( -\dfrac{27}{256} \)（在 \( x = 3/4 \) 处）。
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问题 14
如果长方体的尺寸 \( L \)、\( W \) 和 \( H \) 以变化率 \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; \text{cm/sec} \)、\( \dfrac{dW}{dt} = -0.2 \; \text{cm/sec} \) 和 \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; \text{cm/sec} \) 变化，当 \( L = 20 \; \text{cm} \)、\( W = 8 \; \text{cm} \) 且 \( H = 5 \; \text{cm} \) 时，该长方体的体积变化率是多少？显示问题 14 的解答
体积公式：\( V = LWH \)。对时间 \( t \) 求导：
\[ \frac{dV}{dt} = WH\frac{dL}{dt} + LH\frac{dW}{dt} + LW\frac{dH}{dt} \]代入给定值（\( L = 20, W = 8, H = 5, \dfrac{dL}{dt} = 0.1, \dfrac{dW}{dt} = -0.2, \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \)）：
\[ \frac{dV}{dt} = (8)(5)(0.1) + (20)(5)(-0.2) + (20)(8)(0.3) = 32 \; \text{cm}^3/\text{sec} \] -
问题 15
求内接于半径为 3 的半圆中的最大面积矩形的尺寸。
图 1. 半圆内的内接矩形 显示问题 15 的解答
圆方程：\( x^2 + y^2 = 9 \implies y = \sqrt{9 - x^2} \)。矩形尺寸：\( L = 2x \) 且 \( W = \sqrt{9 - x^2} \)。
面积函数：对于 \( 0 \le x \le 3 \)，\( A(x) = 2x\sqrt{9 - x^2} \)。
图 3. 问题 15 解答的示意图 导数：\( A'(x) = \dfrac{2(-2x^2 + 9)}{\sqrt{9 - x^2}} \)。令 \( A'(x) = 0 \) 得到临界点 \( x = \sqrt{4.5} \)。
计算得出在 \( x = \sqrt{4.5} \) 处取得最大面积，其尺寸为：
\[ L = 2\sqrt{4.5} \approx 4.24, \quad W = \sqrt{9 - 4.5} \approx 2.12 \]