矩阵运算的性质

下面介绍矩阵运算的主要性质——加法、乘法、转置和逆。

以下，\( A \)、\( B \) 和 \( C \) 是大小使得运算有定义的矩阵，\( k \) 和 \( m \) 是标量，\( n \) 是正整数。

矩阵加法的性质

  1. \( A + 0 = 0 + A = A \)  （其中 \( 0 \) 是零矩阵）
  2. \( A + B = B + A \)  （矩阵加法的交换律）
  3. \( (A + B) + C = A + (B + C) \)  （矩阵加法的结合律）

矩阵乘法的性质

  1. \( A(BC) = (AB)C \)  （矩阵乘法的结合律）
  2. \( A I_n = A \)  （其中 \( I_n \) 是单位矩阵）
  3. \( I_n A = A \)
  4. \( 0 \cdot A = 0 \)  （其中 \( 0 \) 是零矩阵）
重要： 一般来说，矩阵乘法不满足交换律——\( AB \neq BA \)。

矩阵的分配律

  1. \( A(B \pm C) = AB \pm AC \)
  2. \( (A \pm B) C = AC \pm BC \)

矩阵与标量乘法的性质

  1. \( k(A \pm B) = kA \pm kB \)
  2. \( (k \pm m)A = kA \pm mA \)
  3. \( k(mA) = (km)A \)
  4. \( k(AB) = (kA)B = A(kB) \)

矩阵转置的性质

以下，\( A^T \) 表示 \( A \) 的转置。

  1. \( (A^T)^T = A \)
  2. \( (A \pm B)^T = A^T \pm B^T \)
  3. \( (kA)^T = kA^T \)
  4. \( (AB)^T = B^T A^T \)
  5. \( (I_n)^T = I_n \)
对称矩阵。 对于任何实矩阵 \( A \)，乘积 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 始终是对称的，即 \( (A^T A)^T = A^T A \)。

矩阵逆的性质

以下，\( A^{-1} \) 表示 \( A \) 的逆。

  1. \( A A^{-1} = A^{-1} A = I_n \)
  2. \( (A^{-1})^{-1} = A \)
  3. \( (kA)^{-1} = \tfrac{1}{k}A^{-1} \quad (k \neq 0) \)
  4. \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \)
  5. \( I_n^{-1} = I_n \)
  6. \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
  7. \( \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} \quad (\det(A) \neq 0) \)
关键思想。 矩阵乘法不满足交换律，但它满足结合律，有单位元 \( I_n \)，并满足两条反转规则： \[ (AB)^T = B^T A^T, \qquad (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. \]

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