Resuelve los sistemas de ecuaciones.
a)
Expande los lados izquierdos y reescribe el sistema de ecuaciones en forma estándar con los términos constantes a la derecha.
Suma los términos izquierdos y los términos derechos de las ecuaciones (I) y (II) para eliminar los términos con x.
Simplifica para obtener una ecuación con una incógnita.
Resuelve para y para obtener
\( \)\( \)\( \)\( \) Sustituye \( y = 0 \) en cualquiera de las ecuaciones (I) ( o (II) ) para obtener
\( \quad -2x-(0) = 2 \)
Resuelve la ecuación anterior para \( x \) para obtener
\( \quad x = - 1 \)
La solución al sistema de ecuaciones dado es el par ordenado
\[ (-1,0) \]
b)
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{3} + y & = & 5 \\ 2(x+3) - \frac{y}{5} & = & 7\end{cases} \)
Para eliminar los denominadores en las dos ecuaciones del sistema dado, multiplica todos los términos de la primera ecuación por \( 3 \) y multiplica todos los términos de la segunda ecuación por \( 5 \).
\( \quad \begin{cases} \displaystyle \color{red}{3}\frac{x-1}{3} + \color{red}{3} y & = & \color{red}{3} \cdot 5 \\ \displaystyle \color{red}{5} ( 2(x+3) ) - \color{red}{5} \frac{y}{5} & = & \color{red}{5} \cdot 7\end{cases} \)
Expande, simplifica y reescribe el sistema de ecuaciones en forma estándar.
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ 10 x - y & = & 5\end{cases} \)
Para eliminar los términos en \( y \), multiplica todos los términos de la segunda ecuación por 3.
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \\ \color{red}3(10 x - y) & = & \color{red}3 \cdot 5\end{cases} \)
Expande
\( \quad \begin{cases} \displaystyle x + 3 y & = & 16 \qquad (I) \\ 30 x - 3y & = & 15 \qquad (II) \end{cases} \)
Suma los lados izquierdos de las ecuaciones y los lados derechos para eliminar los términos en y.
\( \quad 31 x = 31 \)
Resuelve para \( x \)
\( \quad x = 1 \)
Sustituye \( x = 1 \) en la ecuación (I) (o ecuación (II) )
\( \quad (1) + 3 y = 16 \)
Resuelve para \( y \)
\( \quad y = 5 \)
La solución al sistema de ecuaciones dado es el par ordenado
\[ (1,5) \]
c)
\( \displaystyle \quad \begin{cases} (x-1)^2 + y & = & -1 \qquad (I) \\ - 4 x + 2y & = & -6 \qquad (II) \end{cases} \)
Resuelve la ecuación (II) para y para obtener
\( \quad y = 2x - 3 \qquad (III) \)
Sustituye \( y = 2x - 3 \) en la ecuación (II) y reescribe como
\( \quad (x-1)^2 + \color{red}{(2x - 3)} = -1 \)
Expande y reescribe en forma estándar \( \quad x^2 - 1 = 0 \)
Resuelve la ecuación anterior para \( x \) para obtener las soluciones \( \quad x = 1 \) y \( x = - 1\)
Habiendo encontrado las soluciones \( x \), sustituimos cada valor de las soluciones \( 1 \) y \( -1 \) en la ecuación (III) para obtener los valores correspondientes de las soluciones \( y \).
Sustituye \( x = 1 \) en la ecuación (III) para obtener
\( \quad y = 2(1) - 3 = -1 \)
Sustituye \( x = - 1 \) en la ecuación (III) para obtener
\( \quad y = 2(-1) - 3 = - 5 \)
Los dos pares ordenados que son soluciones al sistema de ecuaciones dado son
\[ (1,-1) \quad \text{y} \quad (-1,-5) \]
Expande y simplifica las expresiones.
a)
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 \)
Expande el producto \( (x+2)(x-1) \) y el cuadrado \( (x-2)^2 \)
\( \quad (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \)
\( \quad (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
Sustituye lo anterior en la expresión dada
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - (x^2+x-2 ) + (x^2 - 4x + 4 ) \)
Elimina los paréntesis cambiando los signos para las expresiones con el signo menos delante.
\( \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = - x^2 - x + 2 + x^2 - 4x + 4 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica.
\[ \quad -(x+2)(x-1) + (x-2)^2 = -5x+6 \]
b)
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) \)
Expande los productos \( (x-2)(x^2 + 3x -3) \) y \( (x-1)(x+1) \).
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) = x^3+x^2-9x+6 \)
\( \quad (x-1)(x+1) = x^2 - 1\)
Sustituye lo anterior en la expresión dada
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = (x^3+x^2-9x+6) - (x^2 - 1) \)
Elimina los paréntesis cambiando los signos para las expresiones con el signo menos delante.
\( \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3+x^2-9x+6 - x^2+1 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica.
\[ \quad (x-2)(x^2 + 3x -3) - (x-1)(x+1) = x^3-9x+7 \]
Factoriza completamente las expresiones.
a)
\( \quad 3x^3+6x^2 \)
Reescribe cada término como un producto de factores primos
\( \quad 3x^3 = 3 \cdot x \cdot x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \)
Identifica todos los factores comunes
\( \quad 3x^3 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x \)
\( \quad 6x^2 = 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
El factor común máximo es
\( \quad 3 \cdot x \cdot x \)
Sustituye cada término por su forma factorizada y reescribe la expresión dada como
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red}3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \cdot x + 2 \cdot \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \)
Factoriza el factor común \( \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x \) y reescribe lo anterior como
\( \quad 3x^3+6x^2 = \color{red} 3 \cdot \color{red}x \cdot \color{red}x (x+2) \)
Notando que \( 3 \cdot x \cdot x = 3 x^2 \), la expresión dada en forma factorizada se escribe como
\[ \quad 3x^3+6x^2 = 3 x^2 (x+2) \]
b)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) \)
Factoriza \( (x-3) \)
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2 + 3x + 2- (x+1)) \)
Simplifica \( (x^2 + 3x + 2- (x+1)) \) y reescribe lo anterior como
\( \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x^2+2x+1) \)
Nota que \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \), por lo tanto \[ \quad (x-3)(x^2 + 3x + 2) - (x-3)(x+1) = (x-3)(x+1)^2 \]
c)
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2\)
Notando que \( 81 = 9^2 \), \( x^2 = x^2 \), \( 16 = 4^2 \) y \( y^2 = y^2 \), reescribe la expresión dada como la diferencia de dos cuadrados
\( \quad 81 x^2 - 16 y^2 = (9x)^2 - (4y)^2 \)
Ahora usamos la identidad relacionada con la diferencia de dos cuadrados dada por \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) para factorizar la expresión anterior
\[ (9x)^2 - (4y)^2 = (9x - 4y)(9x + 4y) \]
d)
\( \quad -6x^2+7x-2 \)
Factoriza el signo menos
\( \quad -6x^2+7x-2 = - (6x^2 - 7 x + 2) \qquad (I) \)
Para factorizar \( 6x^2 - 7 x + 2 \), necesitamos escribir como \( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = ( ax + b) (c x + d) \)
donde el producto \( b \cdot d = 2 \) lo que significa que \( b = 1 \) y \( d = 2 \) o \( b = - 1 \) y \( d = - 2 \)
El producto \( a \cdot c = 6 \) significa los siguientes valores posibles: \( a = 1 \) y \( c = 6 \), o \( a = 2 \) y \( c = 3 \) o \( a = 3 \) y \( c = 2 \)
Después de sustituir valores de \( a, b, c ,d \), terminamos con la forma factorizada
\( \quad 6x^2 - 7 x + 2 = (2x-1)(3x-2) \)
Sustituye en (I) anterior \[ \quad -6x^2+7x-2 = - (2x-1)(3x-2) \]
Dada \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \), encuentra
a) el vértice de la gráfica de \( f \),
b) Las intersecciones x e y de la gráfica de la función \( f(x) = -2 x^2 - 2 x + 4 \),
c) El eje de simetría de la gráfica de \( f \).
d) Usa una calculadora para graficar \( f \) y verifica las respuestas de las partes a) , b) y c).
a)
\( f \) es una función cuadrática y su gráfica es una parábola.
Primero escribimos la función dada en la forma estándar del vértice \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \) completando el cuadrado , donde el vértice tiene las coordenadas \( (h,k) \).
Factoriza \( -2 \) de los términos con \( x \) y \( x^2\) en \( \; f(x)\)
\( \quad f(x) = - 2 (x^2 + x) + 4 \)
Completa el cuadrado de la expresión dentro del paréntesis.
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1/4 \right) + 4 \)
Simplifica y reescribe lo anterior como
\( \quad \displaystyle \quad f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \)
Comparando la función anterior \( \; f(x) = - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \; \) con la forma estándar del vértice \( \; f(x) = a (x - h)^2 + k \; \), podemos escribir que \( h = - \frac{1}{2} \) y \( k = \frac{9}{2} \)
Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas \( \displaystyle \left(- \frac{1}{2} , \frac{9}{2} \right) \)
b)
Las intersecciones x, si las hay, están dadas por las soluciones a la ecuación \( f(x) = 0 \), por lo tanto la ecuación
\( \quad \displaystyle \quad - 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} = 0 \)
Lo que da
\( \quad 2 \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{2} \)
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} \)
Resuelve extrayendo la raíz cuadrada
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \sqrt {\frac{9}{4}} \)
Simplifica para obtener las dos soluciones
\( \quad \left(x + \frac{1}{2} \right) = \pm \frac{3}{2} \)
\( \quad x_1 = 1 \) y \( x_2 = - 2 \)
La intersección y está dada por \( y = f(0) = 4 \)
c)
El eje de simetría de la gráfica de \( f \) está dado por la línea vertical \( x = h = - \frac{1}{2} \)
d)
El uso de una calculadora gráfica da la gráfica a continuación donde el vértice, las intersecciones x e y y el eje de simetría pueden verificarse con los calculados anteriormente.
Usa proporcionalidad para completar, si es posible, las tablas de valores en a), b) y c).
a)
Hay dos tipos de reglas de proporcionalidad:
1) \( y \) es directamente proporcional a \( x \) si hay una relación matemática entre \( y \) y \( x \) de la forma:
\( \quad \; y = k x \quad \) o \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = k \quad \) donde \( k \) es una constante.
2) \( y \) es inversamente proporcional a \( x \) si hay una relación matemática entre \( y \) y \( x \) de la forma:
\( \quad \displaystyle y = \frac{k}{x} \quad \) o \( \quad y \cdot x = k \quad \) donde \( k \) es una constante.
Completamos la tabla a), calculando la razón \( y / x \) y el producto \( y x \) como se muestra a continuación.
Se puede ver fácilmente que la razón es constante tal que \( \quad \displaystyle \frac{y}{x} = 6 \quad \) y por lo tanto hay una proporción directa entre \( y \) y \( x \) dada por
\( \quad \displaystyle y = 6 x \quad \)
Ahora completamos la tabla calculando \( y \) para \( x = 0.2 \), \[ \displaystyle y = 6 \cdot 0.2 = 1.2 \quad \]
b)
Completamos la tabla b), calculando la razón \( y / x \) y el producto \( y x \) como se muestra a continuación.
Se puede ver fácilmente que el producto es constante tal que \( \quad y x = 0.2 \quad \) y por lo tanto hay una proporción inversa entre \( y \) y \( x \) dada por
\( \quad \displaystyle y x = 0.2 \quad \) o \( \quad \displaystyle y = \frac{0.2}{x} \quad \)
Ahora completamos la tabla calculando \( y \) para \( x = 20 \), \[ \displaystyle y = \frac{0.2}{20} = 0.01 \quad \]
c)
Completamos la tabla c), calculando la razón \( y / x \) y el producto \( y x \) como se muestra a continuación.
Se puede ver fácilmente que ni la razón \( \quad y / x \) ni el producto \( y x \) es constante y por lo tanto no hay ni una proporción directa ni inversa entre \( y \) y \( x \) en la tabla. Por lo tanto, no podemos calcular \( y \) para \( x = 11 \) en la parte c) porque no conocemos la relación entre \( y \) y \( x \).
Encuentra todos los lados y ángulos desconocidos en el triángulo rectángulo a continuación.
Para encontrar los lados desconocidos, necesitamos encontrar \( x \).
El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo dado da:
\( \quad {\overline{AC}}^2 = {\overline{AB}}^2 + {\overline{BC}}^2 \)
Sustituye \( \overline{AC} , \overline{AB} \) y \( \overline{BC} \) por las expresiones y valores dados para escribir la ecuación
\( \quad (4x-1)^2 = (2x+1)^2 + 12^2 \)
Expande el cuadrado, agrupa términos semejantes, simplifica y reescribe la ecuación en forma estándar.
\( \quad 12x^2-12x-144 = 0 \)
Divide todos los términos de la ecuación por \( 12 \) y simplifica
\( \quad x^2-x-12 = 0 \)
Resuelve para obtener
\( \quad x = 4 \) y \( x = -3 \)
La solución \( x = - 3 \) daría \( \overline{AC} = 4 x - 1 = -13 \) lo cual no es aceptable ya que la longitud de la hipotenusa no puede ser negativa.
Sea \( x = 4 \) y encuentra el lado desconocido y la hipotenusa.
\( \quad \overline{AC} = 4 x - 1 = 15\)
\( \quad \overline{AB} = 2x +1 = 9\)
Usando la definición de la tangente del ángulo \( ACB \), tenemos
\( \quad \displaystyle \tan \angle ACB = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)
Por lo tanto
\( \quad \angle ACB = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) = 36.87^{\circ} \)
Los ángulos \( CAB \) y \( ACB \) son complementarios y por lo tanto
\( \quad \angle CAB = 90 - 36.87 = 53.13^{\circ} \)
El ángulo \( \alpha \) es un ángulo agudo tal que \( \sin \alpha = 0.6 \). Encuentra \( \cos \alpha\) y \( \tan \alpha\)
Consideremos un triángulo rectángulo con ángulo \( \alpha \) tal que
\( \quad \displaystyle \sin \alpha = \frac{Opuesto}{Hipotenusa} = \frac{a}{c} = \frac{0.6}{1} = 0.6 \)
Usa el teorema de Pitágoras para encontrar \( b \)
\( \quad c^2 = a^2 + b^2 \)
Sustituye para encontrar
\( \quad 1 = 0.6^2 + b^2 \)
Resuelve para \( b^2 \)
\( \quad b^2 = 1 - 0.36 = 0.64\)
Resuelve para \( b \)
\( \quad b = \sqrt {0.64} = 0.8\)
Ahora usamos las definiciones de coseno y tangente
\( \quad \displaystyle \cos \alpha = \frac{Lado Adyacente}{Hipotenusa} = \frac {0.8}{1} = 0.8 \)
\( \quad \displaystyle \tan \alpha = \frac{Opuesto}{Adyacente} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75 \)
En la figura a continuación, BE es paralelo a CD. Encuentra las longitudes \( x \) y \( y \) de los segmentos CD y DE respectivamente.
Los triángulos \( ABE \) y \( ACD \) tienen un ángulo común \( A \).
Dado que \( BE \) es paralelo a \( CD \), los ángulos \( ABE \) y \( ACD \) son ángulos correspondientes y por lo tanto congruentes.
También los ángulos \( AEB \) y \( ADC \) son ángulos correspondientes y por lo tanto congruentes.
Los triángulos \( ABE \) y \( ACD \) tienen los tres ángulos congruentes y por lo tanto son semejantes .
Los triángulos semejantes tienen proporcionalidad entre los lados de la siguiente manera
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{BE}}{\overline{CD}} \)
Sustituye las cantidades conocidas para obtener la ecuación
\( \quad \displaystyle \frac{10}{10+2} = \frac{6}{X} \)
\( \quad x = 7.2 \)
La proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes también da
\( \quad \displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} = \frac{\overline{EB}}{\overline{DC}} \)
Sustituye las cantidades conocidas para obtener la ecuación
\( \quad \displaystyle \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \)
Resuelve para \( y = 2.2 \)
Las longitudes del lado AB y del lado BC de un triángulo ABC son 14 cm y 10 cm respectivamente. El tamaño del ángulo C es 49o. Encuentra todos los ángulos desconocidos y todos los lados desconocidos del triángulo.
Dibuja un triángulo y etiqueta todas las cantidades conocidas.
Aplica la ley de senos
\( \quad \displaystyle \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \)
Resuelve para \( \sin A \)
\( \quad \displaystyle \sin A = \frac {a}{c} \sin C \)
Sustituye y resuelve para \( A \)
\( \quad \displaystyle A = \sin^{-1} \left(\frac {a}{c} \sin C \right) = \sin^{-1} \left(\frac {10}{14} \sin 49^{\circ} \right) = 32.62^{\circ}\)
En cualquier triángulo la suma de los tres ángulos \( A, B , C \) es igual a \( 180^{\circ} \); por lo tanto
\( \quad \displaystyle \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)
Resuelve para el ángulo \( B \)
\( \angle B = 180 - (49 + 32.62) = 98.38^{\circ}\)
El lado \( b \) puede encontrarse usando la ley de senos .
\( \quad \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \)
Resuelve para \( b \)
\( \quad \displaystyle b = a \frac{\sin B}{\sin A} \)
Sustituye y simplifica
\( \quad \displaystyle b = 10 \frac{\sin 98.38^{\circ}}{\sin 32.62^{\circ}} = 18.35\)
NOTA que el lado \( b \) puede calcularse usando la ley de cosenos de la siguiente manera
\( \quad \displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B \)
Sustituye
\( \quad \displaystyle b^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cos 98.38^{\circ} = 336.80655\)
Saca la raíz cuadrada para encontrar
\( \quad b = \sqrt {336.80655} \approx 18.35 \)
Encuentra los valores de \( A \) y \( B \) si la línea con ecuación \( A x + By = 1 \) pasa por los puntos \( (1,5) \) y tiene una intersección con el eje y en \( y = 3 \).
Si la línea pasa por los puntos \( (1,5) \), entonces las coordenadas x e y de este punto satisfacen la ecuación de la línea. Por lo tanto, sustituye \( x \) y \( y \) por \( 1 \) y \( 5 \) respectivamente en la ecuación de la línea para obtener la ecuación:
\( \quad A (1) + B(5) = 1 \)
lo cual puede escribirse como
\( \quad A + 5 B = 1 \)
Que la línea tenga intersección con el eje y en \( y = 3 \) es similar a decir que la línea pasa por el punto \( (0 , 3) \), por lo tanto la ecuación
\( \quad A (0) + B(3) = 1 \)
lo cual puede escribirse como
\( \quad 3 B = 1 \)
Resuelve lo anterior para \( B \) para obtener
\( \quad \displaystyle B = \frac{1}{3} \)
Sustituye \( B = \frac{1}{3} \) en la ecuación \( \quad A + 5 B = 1 \)
\( \quad \displaystyle A + 5 \cdot \frac{1}{3} = 1 \)
Resuelve para \( A \)
\( \quad \displaystyle A = 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3} \)
Un químico necesita hacer 5 L de una solución de ácido sulfúrico al 45% en volumen. Tiene disponibles soluciones de ácido sulfúrico al 20% y 55% en volumen. Decide mezclar las soluciones al 20% y 55% para hacer la solución al 45%. ¿Cuántos litros de cada solución debe mezclar?
Sea \( x \) el número de litros de la solución de ácido sulfúrico al \( 20\% \) y \( y \) el número de litros de la solución de ácido sulfúrico al \( 55\% \).
Necesitamos hacer una solución de 5 litros, por lo tanto la ecuación
\( \quad x + y = 5 \qquad (I) \)
La cantidad de ácido sulfúrico en \( x \) y la cantidad de ácido sulfúrico en \( y \) es igual a la cantidad de ácido sulfúrico en los 5 litros totales; por lo tanto la ecuación
\( \quad 20\% \cdot x + 55\% \cdot y = 45\% \cdot 5 \)
La última ecuación puede escribirse como
\( \quad \displaystyle \frac{20 x}{100} + \frac{55 y}{100} = \frac{45 \cdot 5}{100} \)
Multiplica todos los términos de la ecuación anterior por \( 100 \) y simplifica para eliminar los denominadores y reescribe la ecuación como
\( \quad 20 x + 55 y = 225 \qquad (II) \)
Las ecuaciones (I) y (II) forman un sistema de ecuaciones que necesita resolverse.
Resuelve la ecuación (I) para \( y \) para obtener
\( \quad y = 5 - x \)
Sustituye \( y = 5 - x \) en la ecuación (II)
\( \quad 20 x + 55 (5 - x ) = 225 \qquad (II) \)
Resuelve lo anterior para \( x \)
\( \quad x \approx 1.42 \) Litros
\( \quad y = 5 - 1.42 = 3.58 \) Litros
Por lo tanto, necesitamos mezclar \( 1.42 \) Litros de una solución de ácido sulfúrico al \( 20\% \) y \( 3.58 \) Litros de una solución de ácido sulfúrico al \( 55\% \) para obtener una solución de ácido sulfúrico de 5 Litros con una concentración de \( 45\% \).
Una familia condujo 1000 km de París a Praga en 10 horas. Condujeron parte de la distancia a una velocidad promedio de 80 km/h, y el resto a una velocidad promedio de 120 km/h. ¿Qué distancia condujeron a cada velocidad?
Sean \( x \) e \( y \) las distancias conducidas a \( 80 \) km/h y \( 120 \) km/h respectivamente.
El tiempo para conducir la distancia \( x \) está dado por (tiempo = distancia / velocidad )
\( \quad \displaystyle t_x = \frac{x}{80} \)
El tiempo para conducir la distancia \( y \) está dado por (tiempo = distancia / velocidad )
\( \quad \displaystyle t_y = \frac{y}{120} \)
El tiempo total para conducir la distancia total \( x + y = 1000 \) se da como \( t_1 + t_ 2 = 10 \) horas. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \\ \end{aligned} \right.\)
Multiplica la segunda ecuación en el sistema anterior por el producto \( 80 \cdot 120 \)
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ \color{red}{80 \cdot 120}\frac{x}{80} + \color{red}{80 \cdot 120} \frac{y}{120} = \color{red}{80 \cdot 120} \cdot 10 \\ \end{aligned} \right.\)
Simplifica
\(\quad \displaystyle \left\{ \begin{aligned} x + y = 1000 \\ 12 x + 8 y = 9600 \end{aligned} \right.\)
Simplifica
Resuelve el sistema por cualquier método para obtener
\( y = 600 \) km y \( x = 400 \) km.
El triángulo ABC tiene vértices en los puntos \( A(2,3) \), \( B(-3 , 4) \) y \( C \) ubicado en la línea vertical \( x = -1 \). Encuentra todas las coordenadas posibles del punto \( C \) para que \( ABC \) sea un triángulo rectángulo con hipotenusa \( AC \).
Sea \( b \) la coordenada y desconocida del punto \( C (-1,b) \).
\( \quad \displaystyle \overline {AC}^2 = (2-(-1))^2+(3-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle \overline {AB}^2 = (2-(-3))^2+(3-4)^2 = 26 \)
\( \quad \displaystyle \overline {BC}^2 = (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
El triángulo \(ABC\) es un triángulo rectángulo con hipotenusa \( AC \) si y solo si \( \overline {AC}^2 = \overline {AB}^2 + \overline {BC}^2 \), por lo tanto la ecuación
\( \quad \displaystyle (2-(-1))^2+(3-b)^2 = 26 + (-3-(-1))^2+(4-b)^2 \)
\( \quad \displaystyle 2b = 28 \)
\( \quad b = 14 \)
Las coordenadas del punto \( C \) para que \( ABC \) sea un triángulo rectángulo con hipotenusa \( AC \) son \( (-1,14) \)
Linda gasta \( 70\% \) de su presupuesto mensual en vivienda y comida y gasta \( \$ 500 \) más en vivienda que en comida. Gasta \( 5\% \) de su presupuesto, que es \( \$ 200 \), para pagar una membresía mensual en un club de yoga.
¿Cuántos dólares gasta en comida y cuántos dólares gasta en vivienda por separado?
Sea \( x \) el presupuesto en dólares. Se nos dice que \( 5\% \) de su presupuesto es \( \$ 200 \), por lo tanto la ecuación
\( \quad 5\% \cdot x = 200 \)
Lo cual puede escribirse como
\( \quad \displaystyle \frac{5 x}{100} = 200 \)
Resuelve para \( x \).
\( \quad x = 4000 \) dólares
Sean \( h \) y \( f \) la cantidad en dólares gastada en vivienda y comida respectivamente. Se nos dice que \( 70\% \) de su presupuesto mensual es en vivienda y comida, por lo tanto la ecuación
\( \quad \displaystyle h + f = 70\% \cdot 4000 \)
Lo que da
\( \quad \displaystyle h + f = 2800 \qquad (I) \)
Se nos dice que Linda gasta \( \$ 500 \) más en vivienda que en comida, por lo tanto
\( \quad h = 500 + f \qquad (II) \)
Resuelve las ecuaciones (I) y (II) simultáneamente para obtener
\( \quad h =1650 , f = 1150 \)
Por lo tanto, Linda gasta \( \$ 1650 \) en vivienda y \( \$ 1150 \) en comida.
Encuentra el área de la cometa que se muestra a continuación dado que \( \overline {CD} = 10 \) cm.
El área \( A_r \) de la cometa dada está dada por
\( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \)
Por lo tanto, necesitamos encontrar \( \overline {AC} \) y \( \overline {BD} \).
Dado que el ángulo \( \angle MDC = 45^{\circ} \), \( \angle MCD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \) y por lo tanto el triángulo \( DMC \) es un triángulo rectángulo isósceles, por lo tanto
\( \quad \overline {DM} = \overline {MC} \) (triángulo isósceles)
\( \quad \overline {DC}^2 = \overline {DM}^2 + \overline {MC}^2 \) (teorema de Pitágoras)
Lo anterior da
\( \quad 10^2 = 2 \overline {DM}^2 \)
Resuelve para obtener
\( \quad \displaystyle \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
Además, la cometa es simétrica y por lo tanto
\( \quad \displaystyle \overline {BM} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \)
lo que da
\[ \quad \overline {BD} =\overline {BM} + \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} + \frac{10}{\sqrt 2} = 10 \sqrt 2\]
Ahora determinamos la altura \( AM \) del triángulo \( ABD \) usando el ángulo \( ABM \) cuyo tamaño está dado.
\( \quad \displaystyle \tan 65^{\circ} = \frac{\overline {AM}}{\overline {BM}} \)
por lo tanto
\( \quad \displaystyle \overline {AM} = \overline {BM} \tan 65^{\circ} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} \)
\( \quad \displaystyle \overline {MC} = \overline {DM} = \frac{10}{\sqrt 2} \) (triángulo isósceles)
\[ \quad \displaystyle \overline {AC} = \overline {AM} + \overline {MC} = \frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac{10}{\sqrt 2} \]
Ahora sustituimos en la fórmula \( A_r = \frac{1}{2} \overline {AC} \cdot \overline {BD} \) dada anteriormente para obtener el área.
\[ \quad \displaystyle A_r = \frac{1}{2} \left(\frac{10}{\sqrt 2} \tan 65^{\circ} + \frac {10}{ \sqrt 2} \right) \cdot 10 \sqrt 2 = 157.23 \text{ unidades cuadradas} \].
m y n son líneas paralelas. Muestra que las líneas m y r son perpendiculares.
Etiqueta diferentes ángulos.
Las líneas m y n son paralelas y la línea s intersecta ambas creando ángulos correspondientes .
Los ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) son ángulos correspondientes y por lo tanto tienen medidas iguales.
\( \quad \beta = \alpha = 33^{\circ} \)
Los ángulos \( \beta \) y \( \Omega \) son ángulos verticales y por lo tanto tienen medidas iguales.
\( \quad \Omega = \beta = 33^{\circ} \)
Ahora usamos la suma de los ángulos en el triángulo \( ABC \) para encontrar el tamaño del ángulo \( \theta \).
\( \quad 89 + 34 + \theta = 180 \)
Por lo tanto
\( \quad \theta = 180 - 89 - 34 = 57^{\circ}\)
El tamaño del ángulo formado por las líneas r y m es igual a \( \theta + \Omega \)
\( \quad \theta + \Omega = 57 + 33 = 90^{\circ}\)
Las líneas r y m forman un ángulo de \( 90^{\circ} \) y por lo tanto son perpendiculares.
Encuentra la longitud de la altura AM de la pirámide cuadrada recta si su volumen es 1500 centímetros cúbicos y la longitud de la diagonal CE de su base es igual a 10 centímetros.
Sea la longitud de la base cuadrada \( x \) y la longitud de la altura AM \( h \). La fórmula del volumen \( V \) de la pirámide está dada por
\( \quad \displaystyle V = \frac{1}{3} x^2 h \)
Consideremos el triángulo rectángulo \( CDE \) cuyos lados tienen longitud igual \( x \) y la longitud de su hipotenusa \( CE \) es igual a 10.
Usa el teorema de Pitágoras
\( \quad x^2 + x^2 = 10^2 \)
\( \quad 2 x^2 = 100 \)
Resuelve para \( x^2 \)
\( \displaystyle \quad x^2 = 50 \)
Ahora sustituimos \( x^2 \) y el volumen \( V \) por sus valores en la fórmula dada anteriormente para escribir la ecuación
\( \quad \displaystyle 1500 = \frac{1}{3} 50 h \)
Resuelve para \( h \)
\( \quad h = 90 \) cm