Kalkylfrågor och problem med lösningar

Kalkyltutorialer, inklusive problem och frågor med lösningar, presenteras.

Kalkylproblem och frågor.

• Kalkyl 1 Övningsfråga med detaljerade lösningar.
• Optimeringsproblem för Kalkyl 1 med detaljerade lösningar.
• Linjär minsta kvadrat-anpassning. Använd partiella derivator för att hitta en linjär anpassning för given experimentell data.
• Minimumavståndsproblem. Den första derivatan används för att minimera den tillryggalagda sträckan.
• Maximalt område för rektangel - Problem med lösning. Maximera området för en rektangel inskriven i en triangel med hjälp av den första derivatan. Problemet och dess lösning presenteras.
• Maximal radie för cirkel - Problem med lösning. Hitta storleken på en vinkel i en rätvinklig triangel så att radien för den inskrivna cirkeln är maximal, med en konstant hypotenusa.
• Hitta området av en cirkel med hjälp av integraler i kalkyl.
• Hitta området av en ellips med hjälp av kalkyl.
• Volym av en sfärisk kupa med hjälp av integraler.
• Hitta volymen av en sfär med hjälp av kalkyl.
• Hitta volymen av en avsmalnande kropp med hjälp av kalkyl.
• Hitta volymen av en fyrkantig pyramid med hjälp av integraler.
• Maximalt område för triangel - Problem med lösning. Den första derivatan används för att maximera området för en triangel inskriven i en cirkel.
• Maximalt område för rektangel i en rätvinklig triangel - Problem med lösning. Maximera området för en rektangel inskriven i en rätvinklig triangel med hjälp av den första derivatan.
• Maximera volymen av en låda. Hur man maximera volymen av en låda med hjälp av den första derivatan av volymen.
• Maximera effekt levererad till kretsar. Den första derivatan används för att maximera den effekt som levereras till en belastning i elektroniska kretsar.
• Använd derivatan för att hitta en kvadratisk funktion. Använd den första derivatan för att hitta ekvationen för en kvadratisk funktion givet tangentlinjer till grafen av funktionen.
• Problems med medelvärdesteoremet. Problem där medelvärdesteoremet används presenteras med detaljerade lösningar.
• Frågor och exempel för Rolle's teorem.
• Använd första derivatan för att minimera ytan på en pyramid. Den första derivatan används för att minimera ytan på en pyramid med en kvadratisk bas. En detaljerad lösning på problemet presenteras.
• Lös problem med tangentlinjer i kalkyl. Problem med tangentlinjer och deras lösningar presenteras.
• Lös problem med förändringshastighet i kalkyl. Problem med förändringshastighet i kalkyl och deras lösningar presenteras.
• Använd derivator för att lösa problem: Optimering av avstånd-tid. Ett problem för att minimera (optimera) tiden det tar att gå från en punkt till en annan presenteras.
• Använd derivator för att lösa problem: Optimering av område. Ett problem för att maximera (optimera) området för en rektangel med en konstant omkrets presenteras.
• Minimum, Maximum, First and Second Derivatives. En handledning om hur man använder kalkylteoremer med första och andra derivator för att avgöra om en funktion har en relativt maximum eller minimum, eller ingen av dessa, vid en given punkt.
• First, Second Derivatives and Graphs Of Functions. En handledning om hur man använder första och andra derivator, i kalkyl, för att rita grafer för funktioner.

Gränsvärden och kontinuitet.

• Introduktion till gränsvärden i kalkyl. Numeriska och grafiska exempel används för att förklara begreppet gränsvärden.
• Gränsvärden för funktioner med absolutbelopp.
• Gränsvärdet för Arctan(x) när x närmar sig oändligheten.
• Hitta gränsvärden för funktioner i kalkyl. Hitta gränsvärden för olika funktioner med hjälp av olika metoder. Flera exempel med detaljerade lösningar presenteras. Fler övningar med svar finns längst ner på sidan.
• Gränsvärden för konstanta och linjära funktioner.
• Egenskaper hos gränsvärden i kalkyl. Huvudsatsen om gränsvärden och dess användning vid beräkning av gränsvärden för funktioner.
• Kontinuerliga funktioner i kalkyl. Introduktion och definition av begreppet kontinuerliga funktioner i kalkyl med exempel.
• Kontinuitetsteoremer och deras användning i kalkyl. Teorem relaterade till kontinuitet hos funktioner och deras användning i kalkyl presenteras och diskuteras med exempel.
• Icke-deriverbara funktioner. Grafiska och analytiska förklaringar.
• Frågor om kontinuitet med lösningar.
• Användning av inklämningsteoremet för att hitta gränsvärden. Inklämningsteoremet används för att hitta gränsvärden för funktioner som sin x/x när x närmar sig 0.
• Beräkna gränsvärden för trigonometriska funktioner. Många exempel med detaljerade lösningar och övningar med svar på beräkning av gränsvärden för trigonometriska funktioner eller funktioner som involverar trigonometriska funktioner.
• L'Hôpitals regel och de indeterminata formerna 0 / 0. Flera exempel med detaljerade lösningar och övningar med svar på hur man använder L'Hôpitals sats för att beräkna gränsvärden för de indeterminata formerna 0/0.
• Indeterminata former för gränsvärden. Flera exempel med detaljerade lösningar och övningar med svar på hur man beräknar gränsvärden för indeterminata former som
  ∞ / ∞ 0 ⁰, ∞ ⁰, 1 ^∞, ∞ ^o and ∞ - ∞.
• Konvergenta och divergenta serier.

Differentiering och Derivator

• Produktregeln för differentiering med exempel.
• Kvotregeln för differentiering med exempel.
• Taylor- och Maclaurinserier med exempel.
• Hitta derivator av funktioner i kalkyl.
• Differenskvot.
• Använd definitionen för att hitta derivatan.
• Bevis för derivatan av a^x.
• Derivatan av logaritmisk funktion med godtyckligt bastal: Log_a (x).
• Bevis för derivatan av e^x.
• Bevis för derivatan av ln(x).
• Bevis för derivatan av sin x.
• Bevis för derivatan av cos x.
• Derivatan av tan(x).
• Bevis för derivatan av cot(x).
• Bevis för derivatan av sec(x).
• Bevis för derivatan av csc(x).
• Logaritmisk differentiering. En kraftfull metod för att hitta derivatan av komplicerade funktioner. Metoden använder kedjeregeln och egenskaperna hos logaritmer.
• Tabell över derivator. En tabell över derivator av exponential- och logaritmiska funktioner, trigonometriska funktioner och deras inverser, hyperboliska funktioner och deras inverser.
• Regler för differentiering av funktioner i kalkyl. De grundläggande reglerna för differentiering av funktioner i kalkyl presenteras tillsammans med flera exempel.
• Använd kedjeregeln för differentiering i kalkyl. Kedjeregeln för differentiering av funktioner i kalkyl presenteras tillsammans med flera exempel.
• Derivator som involverar absolutvärde. Exempel på hur man hittar derivatan av funktioner som involverar absolutvärde. Övningar med svar ingår också.
• Implicit differentiering. Exempel på implicit differentiering, med detaljerade lösningar, presenteras.
• Derivatan av invers funktion. Exempel med detaljerade lösningar på hur man hittar derivatan av en invers funktion presenteras.
• Derivatan av inversa trigonometriska funktioner. Formler för derivatan av inversa trigonometriska funktioner presenteras tillsammans med flera andra exempel som innefattar summor, produkter och kvoter av funktioner.
• Hitta derivatan av f(x) = arccos(cos(x)) och grafen för den.
• Hitta derivatan av f(x) = arcsin(sin(x)) och grafen för den.
• Hitta derivatan av f(x) = arctan(tan(x)) och grafen för den.
• Differentiering av trigonometriska funktioner. Formler för derivator av trigonometriska funktioner i kalkyl presenteras tillsammans med flera exempel som innefattar produkter, summor och kvoter av trigonometriska funktioner.
• Hitta derivatan av y = x^x. En handledning om hur man hittar den första derivatan av y = x^x för x > 0.
• Derivatan av en funktion upphöjd till en annan funktion.
• Differentiering av exponentialfunktioner. Formler och exempel på derivator av exponentialfunktioner i kalkyl presenteras. Flera exempel med detaljerade lösningar som innefattar produkter, summor och kvoter av exponentialfunktioner undersöks.
• Differentiering av logaritmiska funktioner. Exempel på derivator av logaritmiska funktioner i kalkyl presenteras. Flera exempel med detaljerade lösningar som innefattar produkter, summor och kvoter av logaritmiska funktioner undersöks.
• Differentiering av hyperboliska funktioner. En tabell över derivatorna av de hyperboliska funktionerna presenteras. Exempel med detaljerade lösningar som innefattar produkter, summor, potenser och kvoter av hyperboliska funktioner undersöks.

Användning av differentiering.

• Absolut minimum och maximum för en funktion, exempel med detaljerade lösningar och grafiska tolkningar.
• Newtons metod för att hitta nollställen till en funktion. Newtons metod är ett exempel på hur differentiering används för att numeriskt hitta nollställen och lösa ekvationer. Exempel med detaljerade lösningar på hur man använder Newtons metod presenteras.
• Linjär approximation av funktioner. Linjär approximation är ytterligare ett exempel på hur differentiering används för att approximera funktioner med linjära funktioner nära en given punkt. Exempel med detaljerade lösningar på linjära approximationer presenteras.
• Hitta kritiska punkter för funktioner. En handledning om hur man hittar de kritiska punkterna för en funktion. Flera exempel med detaljerade lösningar och övningar med svar.
• Derivata, maximum, minimum för kvadratiska funktioner. Differentiering används för att analysera egenskaper som öknings- och minskningsintervall, lokala maxima, lokala minima för kvadratiska funktioner. Exempel med lösningar och övningar med svar.
• Bestäm konkaviteten hos kvadratiska funktioner. Exempel med lösningar och övningar med svar.
• Använd derivatan för att visa att arcsin(x) + arccos(x) = pi/2.

Integraler

• Utvärdera integraler av funktioner. Exempel med detaljerade lösningar.
• Integration genom delar. Guider med exempel, detaljerade lösningar och övningar med svar om hur man använder tekniken för integration genom delar för att hitta integraler.
• Integration genom substitution. Guider med exempel, detaljerade lösningar och övningar med svar om hur man använder den kraftfulla tekniken för integration genom substitution för att hitta integraler.
• Integral av ln x.
• Integral av logaritmisk funktion med valfri bas: Log_a (x).
• Oegentliga integraler med oändliga intervall. Exempel med detaljerade lösningar.
• Trigonometrisk substitution i integraler. Exempel med detaljerade lösningar.
• Integral av absolutvärdet av x.
• Integral av a^x.
• Utvärdera integraler med kvadratkomplettering. Guider med exempel, detaljerade lösningar och övningar med svar om hur man använder teknikerna kvadratkomplettering och substitution för att utvärdera integraler.
• Integraler med sin(x) eller cos(x) och exponentiella funktioner. Guide för att hitta integraler med produkten av sin(x) eller cos(x) med exponentiella funktioner. Övningar med svar finns längst ner på sidan.
• Integraler med sin(x) och cos(x) med udda exponent. Guide för att hitta integraler med produkten av potenser av sin(x) och cos(x) där en av dem har en udda exponent.
• Integraler med sin(x) med udda exponent.
• Integraler med sin(x) med jämn exponent.
• Hitta området under kurvan. Hur man hittar området under (och mellan) kurvor med hjälp av bestämda integraler. Guider med exempel och detaljerade lösningar presenteras.
• Hitta området mellan kurvor. Hur man hittar området mellan kurvor med hjälp av bestämda integraler.
• Kurvlängd. Exempel med detaljerade lösningar.
• Beräkna området i polära koordinater. Exempel med detaljerade lösningar.
• Område av en ellips i polära koordinater.
• Hitta volymen av en rotationsyta. Hur man hittar volymen av en rotationsyta som genereras genom att rotera en region begränsad av grafen för en funktion runt en av axlarna med hjälp av bestämda integraler?
• Volym med hjälp av cylindriska skalmetoden. Hitta volymen av en rotationsyta som genereras genom att rotera en region begränsad av grafen för en funktion runt en av axlarna med hjälp av cylindriska skal.
• Partiell bråksönderdelning. Hur man bryter ner komplicerade algebraiska bråk i enklare bråk för integration?
• Integraler av rationella funktioner med hjälp av bråkfördelning.
• Online-kalkylator för partiell bråksönderdelning.
• Tabell över integraler. En tabell över obestämda integraler för funktioner presenteras nedan.
• Utvärdera integraler med logaritmer - handledning. Integraler med integrand som innehåller logaritmiska funktioner.
• Regler för integraler med exempel, inklusive lösningar, detaljerade förklaringar och övningar.
• Utvärdera integraler med logaritmer - handledning. Handledningar, med exempel och detaljerade lösningar, övningar med svar, om integraler inklusive logaritmiska funktioner.
• Tabell över Laplacetransformer. En omfattande tabell över Laplacetransformer.
• Tabell över Fouriertransformer. En tabell över Fouriertransformer.
• Beräkningar och tillä

Integrals av potenser av trigonometriska funktioner

Detaljerade lösningar och förklaringar för
• Integral av sec(x)
• Integral av csc(x)
• Integral av sin^2(x)
• Integral av cos^2(x)
• Integral av sec^3(x)
• Integral av cos^3(x)
• Integral av sin^3(x)
• Integral av sec^4(x)
• Integral av tan^3(x)
• Integral av csc^3(x)
• Integral av sin^2(x)cos^2(x)
• Integral av sin^2(x)cos^3(x)
• Integral av sin^3(x)cos^2(x)
• Integral av sin^4(x)

Differentialekvationer

• Introduktion till differentialekvationer. Vad är differentialekvationer?
• Tillämpningar av differentialekvationer. Flera tillämpningar av modellering av verkliga situationer med hjälp av differentialekvationer.
• Ordning och linjäritet hos differentialekvationer. En handledning om ordning och linjäritet hos differentialekvationer med exempel och övningar.
• Enkla differentialekvationer. Detta är en handledning om att lösa enkla differentialekvationer av första ordningen av formen dy / dx = f(x).
• Separabla differentialekvationer. Vad är separabla differentialekvationer och hur löser man dem?
• Lösa differentialekvationer av första ordningen. Hur man löser differentialekvationer av första ordningen. Den allmänna lösningen diskuteras och exempel med detaljerade lösningar presenteras.
• Differentialekvationer av andra ordningen - Allmänheter. Genomgång av de huvudsakliga definitionerna och grundidéerna bakom att lösa differentialekvationer av andra ordningen.
• Lösa differentialekvationer av andra ordningen - del 1. Handledningar om hur man löser differentialekvationer av andra ordningen där den hjälpekvationen har två distinkta reella lösningar.
• Lösa differentialekvationer av andra ordningen - del 2. Handledningar om hur man löser differentialekvationer av andra ordningen där den hjälpekvationen har två lika reella lösningar. Detaljerade exempel och övningar med svar ingår.
• Lösa differentialekvationer av andra ordningen - del 3. Handledningar om hur man löser differentialekvationer av andra ordningen där den hjälpekvationen har två komplexa konjugerade lösningar. Detaljerade exempel och övningar med svar ingår.

Parametriska ekvationer och deras tillämpningar

• Parametriska ekvationer. Exempel och frågor med lösningar.
• Derivatan av parametriska ekvationer och tillämpningar. Exempel och frågor med lösningar.

Multivariabla funktioner (Funktioner med flera variabler)

• Linjär minsta kvadratanpassning. Använd partiella derivator för att hitta en linjär anpassning för givna experimentella data.
• Introduktion till multivariabla funktioner. Exempel på funktioner med flera variabler.
• Partiella derivator. Exempel med detaljerade lösningar och övningar med svar om hur man beräknar partiella derivator av funktioner.
• Kritiska punkter för funktioner med två variabler. Många exempel för att bestämma kritiska punkter för funktioner med två variabler presenteras tillsammans med deras detaljerade lösningar.
• Multivariabel kedjeregeln.
• Maxima och minima för funktioner med två variabler. Hitta relativa maxima, minima och sadelpunkter för funktioner med två variabler. Flera exempel med detaljerade lösningar presenteras. 3D-grafer för funktionerna visas för att bekräfta existensen av dessa punkter.
• Optimeringsproblem med funktioner med två variabler. Flera optimeringsproblem löses och detaljerade lösningar presenteras. Dessa problem innefattar optimering av funktioner med två variabler med hjälp av första och andra ordningens partiella derivator.
• Andra ordningens partiella derivator i kalkyl. Tutorials med exempel och detaljerade lösningar om hur man beräknar andra ordningens partiella derivator av funktioner.

Tabeller över matematiska formler

• Tabell över matematiska formler. Flera tabeller av matematiska formler inklusive decimalmultiplikatorer, serier, faktorial, permutationer, kombinationer, binomial expansion, trigonometriska formler och tabeller av derivator, integraler, Laplace och Fourier transformer.

Fler länkar och referenser

• Elementär statistik och sannolikhet - handledningar och problem
• Matematiska formler och identiteter
• Teknisk matematik
• Hemsida